Algèbre

Présentation

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L'algèbre (de l’arabe : الجبر, al-jabr) est une branche des mathématiques qui permet d'exprimer les propriétés des opérations et le traitement des équations. Selon l’époque et le niveau d’études considérés, elle peut être décrite comme :! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

• une arithmétique généralisée, étendant à différents objets ou grandeurs les opérations usuelles sur les nombres ;! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• la théorie des équations et des polynômes ;! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• depuis le début du XX^e siècle, l’étude des structures algébriques (on parle d'algèbre générale ou abstraite).! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

L'algèbre aboutit à l'étude des structures algébriques. Son domaine d'application s'étend des problèmes arithmétiques, qui traitent de nombres, à ceux d'origine géométrique tels que la géométrie analytique de Descartes ou les nombres complexes. L'algèbre occupe ainsi une place charnière entre l'arithmétique et la géométrie permettant d'étendre et d'unifier le domaine numérique^[1].! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Étymologie

Le mot « algèbre » est dérivé du titre d’un ouvrage rédigé vers 825, Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (« Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison »), du mathématicien d'origine persane Al-Khwarizmi. Ce livre avait des objectifs pratiques : le calcul d’héritage, l'arpentage, les échanges commerciaux, etc.^[5], et s'inscrivait dans l'époque d'essor des sciences et techniques islamiques.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Le mot arabe al-jabr (الجبر) signifie « réduction d'une fracture », « réunion (des morceaux) », « reconstruction », « connexion », « restauration », « reboutement ». Dans le contexte mathématique, il désigne la transformation d'une équation par ajout d'un terme. En langage actuel, par exemple, on peut transformer {\displaystyle ax-b=c}, en ajoutant la quantité b aux deux membres de l'équation pour n'avoir que des termes positifs : {\displaystyle ax=c+b}.! À revérifierÀ revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Il est à l’origine du mot latin algebra qui a donné « algèbre » en français. En espagnol, le mot algebrista^[6] désigne aussi bien celui qui pratique le calcul algébrique que le rebouteux (celui qui sait réduire les fractures).! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Histoire

Article détaillé : Chronologie de l'algèbre.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Antiquité

Dès l'Antiquité égyptienne ou babylonienne, les scribes disposaient de procédures pour trouver une quantité inconnue soumise à certaines conditions. Ainsi, les anciens Babyloniens et Égyptiens savaient déjà résoudre des problèmes qui peuvent être traduits en équations du premier ou second degré. Les Babyloniens utilisaient également la technique des algorithmes^[7], et cela bien avant Euclide.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Par exemple, le papyrus Rhind (conservé au British Museum de Londres, il date des années 1650 av. J.-C.) comporte l'énoncé suivant :! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

« On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun ? »! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Dans un autre exemple^[8], un problème babylonien demande le côté d'un carré tel qu'on obtienne 870 en soustrayant ce côté de l'aire du carré. Traduit en termes algébriques cela revient à résoudre l'équation du second degré suivante : {\displaystyle x^{2}-x=870}, où « x » désigne le côté cherché.! À revérifierÀ revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Au III^e siècle de l'ère chrétienne, Diophante d'Alexandrie pratique une forme d'algèbre pré-symbolique^[2], en introduisant une inconnue sur laquelle il opère des calculs.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Les mathématiques grecques appelaient « analyse » la méthode qui consiste à nommer une inconnue et à la manipuler afin de remonter à partir des conditions imposées par l'exercice jusqu'à l'identification des propriétés de l'inconnue qui alors peut être déterminée et devient connue^{[réf. nécessaire]}.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Monde arabo-musulman

Dans le livre Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (« Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison ») du mathématicien Al-Khwarizmi, écrit à Bagdad, sous le règne d'Al-Ma’mūn (813-833), une large proportion des méthodes utilisées sont issues de résultats élémentaires de géométrie. Pour cette raison, on classe souvent ces premiers résultats dans la branche de l'algèbre géométrique.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

L'innovation majeure fut l'introduction du concept d'« équation »^[10]. Il s'agissait d'une égalité entre deux expressions mathématiques comportant dans leurs termes des nombres connus et une quantité inconnue. Une telle égalité était la traduction en langage mathématique des conditions imposées par le problème pour découvrir l'inconnue. Par exemple : « quel est le carré qui combiné avec dix de ses racines, donne une somme égale à 39 ? », problème que nous traduirons en algèbre contemporaine (il s'agit plus précisément d'une « transcription » et non d'une traduction, car la notation en exposants numériques ne commence qu'avec Descartes) sous la forme : {\displaystyle x^{2}+10x=39}, en notant « x » la racine inconnue du carré. Des symboles spéciaux sont créés pour désigner carré, cube, racine carrée, racine cubique : la notion d'exposant numérique, même simplement entier, n'émerge pas encore^[11].! À revérifierÀ revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

La légende attribue parfois à Léonard de Pise dit Fibonacci (1170-1250) l'importation des chiffres dits arabes qu'il aurait découverts lors d'un voyage en Afrique. C'est oublier que Gerbert d'Aurillac (945-1003), qui les avait étudiés à Cordoue, avait entrepris de les imposer à la chrétienté une fois devenu pape de l'an Mil sous le nom de Sylvestre II. C'est cependant le livre de Fibonacci Liber abaci^[3] , qui définira la fameuse suite de Fibonacci et contribuera à populariser l'usage des chiffres arabes et du système décimal en Europe^[13].! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

XVIe et XVIIe siècles en Europe

Le pape Sylvestre II avait ramené d'Espagne vers l'an 1000 le zéro, invention indienne que les mathématiciens Al-Khwarizmi et Abu Kamil avaient eux-mêmes fait connaître dans tout l'Empire abbasside, et aussi à Cordoue.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Cette numération de position complète bien le calcul algébrique, d'abord au moyen des algorithmes (terme dérivant de « Al-Khwarizmi »^[14], mais procédé déjà utilisé dans l'algorithme d'Euclide), qui remplacent peu à peu l'usage de l'abaque. ! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Le premier livre imprimé sur l'algèbre a été composé par le franciscain Luca de Burgo ; il a été publié pour la première fois en 1494, puis de nouveau en 1523, sous le titre Summa de arithmetica, geometria, de proportioni et de proportionalita^[15]. ! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Les mathématiciens italiens du XVI^e siècle (del Ferro, Tartaglia et Cardan) résolvent l'équation du 3^e degré (ou équation cubique). Ferrari, élève de Cardan, résout l'équation du 4^e degré (ou équation quartique), et la méthode est perfectionnée par Bombelli. À la fin du siècle, le Français Viète découvre que les fonctions symétriques des racines sont liées aux coefficients de l'équation polynomiale.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Jusqu'au XVII^e siècle, l'algèbre peut être globalement caractérisée comme la suite ou le début des équations et comme une extension de l'arithmétique ; elle consiste principalement en l'étude de la résolution des équations algébriques, et la codification progressive des opérations symboliques permettant cette résolution. François Viète (1540-1603), « considéré comme le fondateur de notre langage algébrique », innove en notant les inconnues et les indéterminées à l'aide de lettres^[16].! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Alors que chez Viète les puissances étaient notées avec des mots latins^[16], René Descartes les note sous forme d'exposants et c'est cette écriture qui s'impose^[16]. À peu de chose près nous avons conservé les notations littérales de Descartes qui constituent un véritable symbolisme algébrique. Le terme « algèbre » devient alors synonyme de « calcul littéral ». René Descartes et Pierre de Fermat introduisent également ce que l'on appelle toujours dans les collèges et les lycées la « géométrie analytique », autrement dit la géométrie des coordonnées : les courbes et les surfaces sont représentées par des équations que l'on manipule au moyen de l'algèbre.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Les mathématiciens commencent, aussi à cette époque, progressivement à utiliser des nombres « imaginaires » pour calculer les racines de leurs équations, parfois même quand ces dernières sont bien réelles^[4].! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

XVIIIe et XIXe siècles en Europe

Une étape décisive fut franchie avec l'écriture des exposants fractionnaires, puis rapidement réels et imaginaires. Ceux-ci permettront à Euler d'énoncer sa célèbre formule {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} liant cinq nombres remarquables. Par ces exposants imaginaires s’opère la jonction sans couture du monde algébrique et du monde trigonométrique.! À revérifierÀ revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Prendre en compte les solutions des équations qui sont des nombres complexes amène d'Alembert à énoncer (en 1746) et Gauss à démontrer (en 1799) le théorème fondamental de l'algèbre :! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Théorème — Toute équation polynomiale de degré n en nombres complexes a exactement n racines (en comptant chacune avec son éventuelle multiplicité).! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Sous sa forme moderne, le théorème s'énonce :! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Théorème — Le corps {\displaystyle \mathbb {C} } des nombres complexes muni de l'addition et de la multiplication est algébriquement clos.! À revérifierÀ revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Le XIX^e siècle s'intéresse désormais à la calculabilité des racines, et en particulier à la possibilité de les exprimer par des formules générales à base de radicaux. Les échecs concernant les équations de degré 5 amènent le mathématicien Abel (1802-1829) (après Vandermonde, Lagrange et Gauss) à approfondir les transformations sur l'ensemble des racines d'une équation. Évariste Galois (1811 - 1832), dans un mémoire fulgurant, étudie le groupe des permutations des racines d'une équation polynomiale et aboutit à l'impossibilité de la résolution par radicaux pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Dès lors, on s'est mis à calculer sur des objets qui ne sont plus forcément des nombres. L'algèbre moderne entame un parcours fécond : Boole (1815-1864) crée l'algèbre qui porte son nom, Hamilton invente les quaternions, et les mathématiciens anglais Cayley (1821-1895), Hamilton (1805-1865) et Sylvester (1814-1897) étudient les structures de matrices. L'algèbre linéaire, longtemps restreinte à la résolution de systèmes d'équations linéaires à 2 ou 3 inconnues, prend son essor avec le théorème de Cayley-Hamilton (« Toute matrice carrée à coefficients dans {\displaystyle \mathbb {R} } ou {\displaystyle \mathbb {C} } annule son polynôme caractéristique »). S'ensuivent les transformations par changement de base, la diagonalisation et la trigonalisation des matrices, et les méthodes de calcul qui nourriront, au XX^e siècle, la programmation des ordinateurs. Dedekind (1831-1916) définit les idéaux (déjà présents plus qu'en germe dans la notion de nombre complexe idéal introduite par Kummer (1810-1893)^[17]), qui permettront de généraliser et de reformuler les grands théorèmes d'arithmétique. L'algèbre linéaire se généralise en algèbre multilinéaire et algèbre tensorielle.! À revérifierÀ revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

XXe siècle : algèbre moderne

Au début du XX^e siècle, sous l'impulsion de l'Allemand Hilbert (1862-1943) et du Français Poincaré (1854-1912), les mathématiciens s'interrogent sur les fondements des mathématiques : logique et axiomatisation occupent le devant de la scène. Peano axiomatise l'arithmétique, puis les espaces vectoriels. La structure d'espace vectoriel et la structure d'algèbre sont approfondies par Artin en 1925, avec des corps de base autres que {\displaystyle \ _{\mathbb {R} }} ou {\displaystyle \ _{\mathbb {C} }} et des opérateurs toujours plus abstraits. On doit aussi à Artin (1898-1962), considéré comme le père de l'algèbre contemporaine, des résultats fondamentaux sur les corps de nombres algébriques. Les corps non commutatifs amènent à définir la structure de module sur un anneau et la généralisation des résultats classiques sur les espaces vectoriels.! À revérifierÀ revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

L'école française, sous le pseudonyme de Nicolas Bourbaki, emmenée par Weil (1906-1998), Cartan (1904-2008) et Dieudonné (1906-1992), entreprend de réécrire l'ensemble des connaissances mathématiques sur une base axiomatique : ce travail gigantesque commence par la théorie des ensembles et l'algèbre dans le milieu du siècle, et confirme l'algèbre comme langage universel des mathématiques. Paradoxalement, alors que le nombre de publications suit une croissance exponentielle à travers le monde, alors qu'aucun mathématicien ne peut prétendre dominer qu'une toute petite partie des connaissances, les mathématiques n'ont jamais autant paru unifiées qu'aujourd'hui.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

L'étude de ces structures peut être faite de manière unifiée dans le cadre de l'algèbre universelle.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Épistémologie

L'étude épistémologique de l'algèbre a été introduite par Jules Vuillemin (1920-2001).! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Histoire des notations européennes modernes

Article détaillé : Notation européenne moderne en mathématiques.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

• Les symboles + et - apparaissent en 1489 dans l'ouvrage Arithmétique de Johannes Widmann (Leipzig) ;! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• Le signe = apparaît en 1557 chez Robert Recorde « parce que deux choses ne sauraient être plus égales que deux lignes parallèles » ;! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• Les signes < et > apparaissent en 1610 chez Thomas Harriot (1560-1621) ;! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• William Oughtred (1574-1660) introduit le signe de la multiplication × dans son Clavis Mathematica (1631). Il introduit aussi les termes de sinus, cosinus et tangente ;! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• Le symbole {\displaystyle x} pour représenter l'inconnue d'une équation est utilisé pour la première fois par Descartes^[18] ;! À revérifierÀ revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×
• Les exposants numériques apparaissent également avec Descartes. On utilisait auparavant des signes spéciaux pour les carrés et les cubes ainsi que les racines carrées ou cubiques ;! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• Le signe de la division / est utilisé par Johann Heinrich Rahn en 1659 et introduit en Angleterre par John Pell en 1668.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Domaines connexes

Articles détaillés : Géométrie algébrique et Topologie algébrique.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Par extension, on attribue aussi le qualificatif d’« algébrique » à d’autres parties des mathématiques dont les objets ou les méthodes relèvent de l’algèbre.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

• La géométrie algébrique est la partie de la géométrie qui étudie des courbes ou des variétés algébriques, c’est-à-dire des courbes ou des variétés définies par des équations polynomiales, avec des techniques elles-mêmes souvent issues de l’algèbre.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• La topologie algébrique applique les outils de l'algèbre à l'étude des espaces topologiques, en cherchant à associer de manière naturelle des invariants algébriques aux structures topologiques associées.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• L'analyse algébrique est une branche des mathématiques fondée sur les idées d'Alexandre Grothendieck, puis développée par Mikio Satō, qui utilise notamment les préfaisceaux et l'analyse complexe pour étudier les propriétés des hyperfonctions.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Voir aussi

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• Algèbre, sur Wikimedia Commons! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• algèbre, sur le Wiktionnaire! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• Algèbre, sur Wikiversity! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• Algèbre, sur Wikibooks! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Articles connexes

• Chronologie de l'algèbre! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Bibliographie

• (en) Isabella Bachmakova et A. N. Rudakov, « Algebra and Algebraic Number Theory », dans A. N. Kolmogorov (dir.) et A. P. Yushkevich (dir.), Mathematics of the 19th century, vol. 1 : Mathematical logic, algebra, number theory, probability theory, Birkhäuser, 1992 (DOI 10.1007/978-3-0348-5112-1_2), p. 35-135! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• (en) Isabella Bashmakova et Galina Smirnova (trad. Abe Shenitzer), The Beginnings and Evolution of Algebra, MAA, coll. « Dolciani mathematical expositions » (n^o 23), 2000 (ISBN 0-88385-329-9, présentation en ligne)! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques [détail des éditions]! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• Ahmed Djebbar (préf. Bernard Maitte), L'algèbre arabe, genèse d'un art, Vuibert/Adapt, 2005, 214 p. (ISBN 2711753816) — Tour d'horizon de l'algèbre arabe, des origines au XV^e siècle.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• (en) Jeremy J. Gray (dir.) et Karen Parshall (dir.), Episodes in the History of Modern Algebra (1800–1950), American Mathematical Society, coll. « HMATH » (n^o 32), 2007 (ISBN 978-0-8218-4343-7)! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• Jens Høyrup (trad. de l'anglais), L'algèbre au temps de Babylone : quand les mathématiques s'écrivaient sur de l'argile, Paris, Vuibert, 2010, 162 p. (ISBN 978-2-311-00001-6)! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
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• (ar) Roshdi Rashed, Entre arithmétique et algèbre : recherches sur l'histoire des mathématiques arabes, Paris, Les Belles lettres, 1984, 321 p. (ISBN 2251355316)! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• Jacques Sesiano, Une introduction à l'histoire de l'algèbre : résolution des équations des Mésopotamiens à la Renaissance, Presses polytechniques et universitaires romandes, 1999 (ISBN 978-2-88074-394-9)! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• Jules Vuillemin, La philosophie de l'algèbre, PUF, 1^re éd. 1962, 2^e éd. 1993, DOI 10.3917/puf.vuill.1993.01! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• Adolf P. Youschkevitch, Les Mathématiques Arabes, VIII^e – XV^e siècles, Vrin, 1976! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Liens externes

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  • Stanford Encyclopedia of Philosophy! Non vérifiéNon vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×
• (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « History Topics: Algebra Index », sur MacTutor, université de St Andrews.! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
• « Mazths-et-tiques : Histoire de l'algèbre », sur maths-et-tiques.fr (consulté le 7 septembre 2026)! Non vérifiéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
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