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Problèmes du prix du millénaire

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Présentation

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Description générale

Chacun des défis consiste à :Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

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Histoire

À la fin du XIXe siècle, le mathématicien allemand David Hilbert dressa une liste de 23 problèmes (l'hypothèse de Riemann, par exemple) dont la résolution serait d'un grand intérêt pour faire progresser les mathématiques. Dans le même esprit, le Clay…Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

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Impact médiatique

L'écho auprès des médias a été important, bien que les primes annoncées par le Clay Mathematics Institute ne représentent pas en réalité des montants si spectaculaires (l'ordre de grandeur des salaires des professeurs titulaires de chaires de mathématiques au…Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

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Le texte et ses détails

Présentation

Les problèmes du prix du millénaire sont un ensemble de sept défis mathématiques réputés insurmontables, posés par l'Institut de mathématiques Clay en 2000.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

La résolution de chacun des problèmes est dotée d'un prix d'un million de dollars américains offert par l'institut Clay. En 2026, six des sept problèmes demeurent non résolus.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Description générale

Chacun des défis consiste à :Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

  • soit démontrer, soit infirmer, une hypothèse ou une conjecture qui n'a été ni confirmée ni rejetée faute d'une démonstration mathématique suffisamment rigoureuse ;Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
  • soit définir et expliciter l'ensemble des solutions de certaines équations.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Chacune de ces solutions permettra de consolider les bases théoriques dans certains domaines des mathématiques fondamentales et constituera un important tremplin qui servira à approfondir les connaissances associées.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Si la solution proposée par publication pour résoudre l'un de ces problèmes est largement acceptée par la communauté des mathématiciens au bout de deux ans, alors l’Institut de mathématiques Clay remettra un million de dollars américains à la personne ou au groupe qui l'aura formulée.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Le premier de ces problèmes fait partie des problèmes de Hilbert non résolus.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Une description détaillée (en anglais) de chacun des sept problèmes, et de ce qui constituerait une solution acceptable, figure sur le site du Clay Mathematics Institute.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Histoire

À la fin du XIXe siècle, le mathématicien allemand David Hilbert dressa une liste de 23 problèmes (l'hypothèse de Riemann, par exemple) dont la résolution serait d'un grand intérêt pour faire progresser les mathématiques. Dans le même esprit, le Clay Mathematics Institute, à la fin du XXe siècle, a décidé d'attribuer un prix d'un million de dollars américains à qui trouverait une solution satisfaisante à l'un des 7 problèmes posés.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Les problèmes ont été annoncés par John Tate et Michael Atiyah le 24 mai 2000 au Collège de France à Paris[1].Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

À ce jour, le seul des sept problèmes qui a été résolu est la conjecture de Poincaré, démontrée par Grigori Perelman (cf. infra).Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Impact médiatique

L'écho auprès des médias a été important, bien que les primes annoncées par le Clay Mathematics Institute ne représentent pas en réalité des montants si spectaculaires (l'ordre de grandeur des salaires[2] des professeurs titulaires de chaires de mathématiques au sein des universités américaines importantes est au minimum de 130 000 dollars américains, donc la prime ne représente pas beaucoup plus de cinq et moins de dix années de revenus). Au sein de la communauté mathématique, l'unanimité ne s'est pas faite pour approuver l'existence de ces primes[3].Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Liste et résumé des problèmes

Hypothèse de Riemann

Article détaillé : Hypothèse de Riemann.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Fonction zêta de Riemann.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×Illustration de la source non affichée : droits de reproduction à vérifier.Consulter les crédits et la source ↓

L'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann. Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Sa démonstration améliorerait entre autres la connaissance de la répartition des nombres premiers.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Conjecture de Poincaré (résolue)

Article détaillé : Conjecture de Poincaré.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Le mathématicien russe Grigori Perelman a démontré cette conjecture en 2002. Sa démonstration a été récompensée par l'attribution de la médaille Fields en 2006 qu'il a déclinée. En ce qui concerne le prix Clay, bien que ses articles n'aient pas été publiés dans des revues à comité de lecture, mais sur arXiv, un répertoire (partiellement) modéré destiné à l'archivage de prépublications principalement de physique et de mathématiques, l'institut Clay a néanmoins annoncé, le 18 mars 2010, lui avoir décerné ce prix, considérant que les conditions de la validation de son travail avaient été réunies[4],[5]. Le 1er juillet 2010, l'Institut Clay a annoncé sur son site que Grigori Perelman avait refusé le prix. Parmi les raisons sous-jacentes à son choix, qu'il a dit être multiples, il a souhaité mettre en avant que son refus devait être vu comme une dénonciation de l'attitude de la communauté mathématique dans sa façon, qu'il considère injuste, d'attribuer ce type de récompense (selon ses propos rapportés par des médias russes, il aurait en particulier indiqué qu'à ses yeux les contributions de son confrère états-unien Richard S. Hamilton étaient du même niveau d'importance que les siennes).Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Problème ouvert P ≟ NP

Le problème P = NP : est-ce que P = NP ou P ≠ NP ?Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×Illustration de la source non affichée : droits de reproduction à vérifier.Consulter les crédits et la source ↓

Article détaillé : Problème P ≟ NP.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Savoir si P = NP est l'un des principaux problèmes ouverts de l'informatique théorique. Le mathématicien et vulgarisateur Keith Devlin le décrit comme le seul problème de la liste potentiellement accessible aux non-spécialistes, dans la mesure où sa description est accessible et une idée simple pourrait suffire à le résoudre[6].Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Pour schématiser, en informatique, certains problèmes peuvent être résolus rapidement (problèmes de complexité P), tandis que d'autres prennent beaucoup de temps (problèmes de complexité NP). Le problème P vs NP demande si tous les problèmes dont on peut vérifier rapidement une solution peuvent également être résolus rapidement.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Le consensus général parmi les chercheurs[réf. nécessaire] est qu'il est peu probable que P = NP, mais aucune preuve formelle n'a été trouvée pour étayer cette croyance.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Conjecture de Hodge

La conjecture de Hodge est l'une des plus grandes conjectures de géométrie algébrique. Elle établit un lien entre la topologie algébrique d'une variété algébrique complexe non singulière et sa géométrie décrite par des équations polynomiales qui définissent des sous-variétés. Elle provient d'un résultat du mathématicien britannique W. V. D. Hodge qui, entre 1930 et 1940, a enrichi la description de la cohomologie de De Rham afin d'y inclure des structures présentes dans le cas des variétés algébriques (qui peuvent s'étendre à d'autres cas).Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Cette conjecture peut s'énoncer ainsi : il est possible de calculer la cohomologie d'une variété algébrique projective complexe à partir de ses sous-variétés.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Avancées

La conjecture de Hodge reste un problème ouvert en mathématiques. Des progrès ont été réalisés pour des cas spécifiques et des variantes de la conjecture. Par exemple, dans le cas des surfaces de type K3, la conjecture de Hodge a été démontrée par l'utilisation de techniques de géométrie algébrique et de géométrie symplectique.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que pour toute courbe elliptique sur le corps des rationnels, l'ordre d'annulation en 1 de la fonction L associée est égal au rang de la courbe. Elle prédit même la valeur du premier terme non nul dans le développement limité en 1 de cette fonction L.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Avancées

Ouverte depuis plus de quarante ans, la conjecture est non résolue, bien que des progrès significatifs aient été réalisés. Le travail de mathématiciens tels que Andrew Wiles et Richard Taylor a permis de résoudre des cas spécifiques et d'apporter des preuves partielles. Elle est largement reconnue comme un des problèmes mathématiques les plus difficiles et les plus profonds encore ouverts au début du XXIe siècle.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Équations de Navier-Stokes (résolues a priori)

Article détaillé : Solutions des équations de Navier-Stokes.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui sont censées décrire le mouvement des fluides « newtoniens » (liquide et gaz visqueux ordinaires) dans l’approximation des milieux continus. La résolution de ces équations modélisant un fluide comme un milieu continu à une seule phase incompressible, même quand elle est possible, est ardue, et dans le cas général, la cohérence mathématique de ces équations non linéaires n'est pas démontrée. Mais elles permettent souvent, par une résolution approchée, de proposer une modélisation des courants océaniques et des mouvements des masses d'air de l'atmosphère, pour les météorologistes, la simulation numérique du comportement des gratte-ciels ou des ponts sous l'action du vent pour les architectes et les ingénieurs, des avions, trains ou voitures à grande vitesse pour leurs bureaux d'études concepteurs, mais aussi l'écoulement de l'eau dans un tuyau et de nombreux autres phénomènes d'écoulement de divers fluides.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Elles sont nommées d'après deux scientifiques du XIXe siècle, le mathématicien et ingénieur des ponts et chaussées Claude Navier et le physicien George Stokes, le choix oubliant le rôle intermédiaire du physicien Adhémar Barré de Saint-Venant. Pour un gaz peu dense, il est possible de déduire ces équations de celle de Boltzmann, décrivant un comportement moyen des particules dans le cadre de sa théorie cinétique des gaz.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Ces équations sont donc fondamentales pour expliquer le comportement des fluides. Le prix récompense la démonstration de l'existence d'une solution régulière des équations pour un fluide incompressible.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Le 8 septembre 2026, l'entreprise californienne OpenAI annonce avoir obtenu une preuve de l'existence d'une solution des équations de Navier-Stokes qui développe une singularité en un temps fini, constituant ainsi un contre-exemple à la régularité globale recherchée dans le problème du millénaire[7],[8],[9].Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Avancées

Des résultats partiels ont été obtenus pour certaines classes de solutions des équations de Navier-Stokes, notamment des solutions faibles et des solutions régulières en deux dimensions. Cependant, l'existence et la régularité des solutions générales en trois dimensions restent inconnues.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Équations de Yang-Mills

Article détaillé : Théorie de Yang-Mills.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Une théorie de Yang-Mills est un type de théorie de jauge non abélienne, dont le premier exemple a été introduit dans les années 1950 par les physiciens Chen Ning Yang, et Robert Mills pour obtenir une description cohérente de l'interaction faible au sein des noyaux atomiques. Depuis, il a été réalisé que ce type de théorie, une fois incorporé dans le cadre de la théorie quantique des champs, permet une description de l'ensemble des interactions fondamentales de la physique des particules et est à la base conceptuelle du modèle standard[10].Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Son expression mathématique moderne fait appel aux outils de la géométrie différentielle et des espaces fibrés. Bien que la formulation et le cadre géométrique de la théorie de Yang-Mills classique soient bien connus depuis longtemps, deux propriétés fondamentales n'ont toujours pas été démontrées mathématiquement et font donc l'objet du prix du millénaire :Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

  • d'une part, l’existence d'une théorie quantique des champs cohérente, fondée sur une théorie de Yang-Mills[11] ;Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
  • d'autre part, l'existence d'un écart de masse (en) qui ne permet l'observation des gluons, particules élémentaires de la théorie quantique associés à toute théorie de Yang-Mills, que sous forme de combinaisons massives appelées boules de glu (glueball en anglais). Ce problème non résolu est intimement lié à celui du confinement de couleur qui affirme que seuls sont observables les états quantiques de charge de couleur nulle.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

En dehors de ces aspects associés à la physique quantique, la théorie de Yang-Mills classique est hautement non linéaire et les équations de Yang-Mills qui lui sont associées sont très difficiles à résoudre de façon exacte en dehors de cas particuliers. C'est cette non-linéarité, associée à une structure géométrique riche, qui donne aux théories de Yang-Mills toute leur complexité et en fait un sujet de recherche actif à la fois en mathématiques et en physique théorique.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

L'énoncé officiel du problème par Arthur Jaffe et Edward Witten est le suivant[12] :Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

« Yang–Mills existence and mass gap. Prove that for any compact simple gauge group {\displaystyle \mathrm {G} }, a non-trivial quantum Yang–Mills theory exists on {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} and has a mass gap {\displaystyle \Delta >0}. Existence includes establishing axiomatic properties at least as strong as those cited in Streater & Wightman (1964), Osterwalder & Schrader (1973) and Osterwalder & Schrader (1975). »À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

— Arthur Jaffe et Edward Witten, Quantum Yang–Mills theory. Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

« Existence et écart de masse de Yang-Mills. Prouver que pour tout groupe de jauge {\displaystyle \mathrm {G} } compact simple, une théorie quantique de Yang-Mills, non-triviale, existe sur {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} et possède un écart de masse {\displaystyle \Delta >0}. L'existence comprend l'établissement de propriétés axiomatiques au moins aussi fortes que celles citées dans Streater et Wightman (1964), Osterwalder et Schrader (1973) et Osterwalder et Schrader (1975). »À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

— Théorie quantique de Yang-Mills.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Avancées

Bien que ce problème reste non résolu, des progrès ont été réalisés dans la compréhension des théories de jauge quantiques et de leurs propriétés. Les travaux de Edward Witten, Richard Feynman et d'autres ont permis d'explorer les aspects mathématiques et physiques des théories de Yang-Mills et de jeter les bases pour une compréhension plus approfondie de ces théories.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Voir aussi

Bibliographie

  • [Carlson, Jaffe et Wiles 2006] James Carlson, Arthur Jaffe et Andrew Wiles (éd.), The Millennium prize problems [« Les problèmes du prix du Millénaire »], Cambridge et Providence, CMI et AMS, hors coll., juin 2006, 1re éd., XVII-165 p., 18,42 × 26,67 cm (ISBN 0-8218-3679-X, EAN 9780821836798, OCLC 492596408, S2CID 116937870, SUDOC 11204297X, résumé, présentation en ligne, lire en ligne [PDF]) : Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
    • [Jaffe et Witten 2006] (en) Arthur Jaffe et Edward Witten, « Quantum Yang–Mills theory », dans op. cit., chap. 8, p. 129-152.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×
  • [Gogokhia et Barnaföldi 2013] (en) Vakhtang Gogokhia et Gergely Gàbor Barnaföldi, The mass gap and its applications [« L'écart de masse et ses applications »], Singapour, Hackensack et Londres, World Scientific, hors coll., mars 2013, 1re éd., XIV-236 p., 15,5 × 22,9 cm (ISBN 978-981-4440-70-7, EAN 9789814440707, OCLC 820119930, DOI 10.1142/8675, S2CID 118269400, SUDOC 199104298, présentation en ligne, lire en ligne).Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
  • [Gribov 2012] (en) Iourii Gribov, « Dark matter as pico-windows to physically equal multiverse worlds with myriads civilizations around us (in extra dimension) », Zeitschrift der Leibniz-Sozietät, no 13,‎ janvier 2012 (S2CID 124782582, lire en ligne [PDF]).Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
  • [Nye 2025] (en) Logan Nye, « Existence and mass gap in quantum Yang–Mills theory », Int. J. Topol., vol. 2, no 1,‎ 2025, art. no 2, 62 p. (DOI 10.3390/ijt2010002, résumé, lire en ligne [PDF]).Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
  • [Osterwalder et Schrader 1973] (en) Konrad Osterwalder et Robert Schrader, « Axioms for euclidean Green's functions, [I] » [« Axiomes pour les fonctions de Green euclidiennes, [Ire partie] »], Commun. Math. Phys., vol. 31, no 2,‎ juin 1973, p. 83-112 (OCLC 5653612218, DOI 10.1007/BF01645738, S2CID 189829853, résumé, lire en ligne [PDF]).Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
  • [Osterwalder et Schrader 1975] (en) Konrad Osterwalder et Robert Schrader, « Axioms for euclidean Green's functions, II : with an appendix by Stephen Summers » [« Axiomes pour les fonctions de Green euclidiennes, IIde partie : avec une annexe de Stephen Summers »], Commun. Math. Phys., vol. 42, no 3,‎ octobre 1975, p. 281-305 (OCLC 5653374324, DOI 10.1007/BF01608978, S2CID 119389461, résumé, lire en ligne [PDF]).Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
  • [Streater et Wightman 1964] (en) Raymond F. Streater et Arthur S. Wightman, PCT, spin and statistics, and all that, New York, W. A. Benjamin, coll. « The mathematical physics monograph series », 1964 (réimpr. 1978, avec ajouts et corrections, 1980 et 1989), 1re éd., VIII-181 p. (ISBN 0-8053-9050-2 et 0-8053-9252-1, OCLC 930068, BNF 37362402, SUDOC 015951499).Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Articles connexes

  • Problèmes de HilbertNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
  • Problèmes de SmaleNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
  • Trois grands problèmes de l'AntiquitéNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
  • Problèmes de LandauNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
  • Problèmes non résolus en mathématiquesNon vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Liens externes

Notes et références

Retrouvez les documents cités dans le texte, puis revenez au passage concerné.

  1. « The Millennium Prize Problems »↩
  2. (en) Tables des salaires dressées par l'American Mathematical Society.↩
  3. (en) (liens externes) Le numéro de janvier 2007 des Notices of the American Mathematical Society contenant l'article What is good for mathematics? Thoughts on the Clay Millennium Prizes du mathématicien russe Anatoly Vershik. Liens directs : 1 ou 1bis↩
  4. « Maths : un Russe récompensé pour la conjecture de Poincaré », dépêche AFP, 18 mars 2010.↩
  5. (en) Communiqué de presse de l'Institut de mathématiques Clay↩
  6. Keith Devlin (trad. de l'anglais par Céline Laroche), Les énigmes mathématiques du 3e millénaire : Les 7 grands problèmes non résolus à ce jour [« The Millennium Problems: the Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time »], Paris, Le Pommier, 2005 (1re éd. 2002), 328 p. (ISBN 2-7465-0163-5), p. 161↩
  7. David Larousserie, « OpenAI dit avoir résolu un problème de maths majeur mais crée des vagues », Le Monde,‎ 9 septembre 2026 (ISSN 1950-6244, lire en ligne, consulté le 9 septembre 2026)↩
  8. (en) Davide Castelvecchi, « OpenAI claims huge maths breakthrough on a famed ‘Millennium Problem’ », Nature, vol. 657, no 8132,‎ 8 septembre 2026, p. 579-580 (DOI 10.1038/d41586-026-02842-5 ).↩
  9. « À propos du problème du prix du millénaire de Navier–Stokes », sur OpenAI, 8 septembre 2026 (consulté le 17 septembre 2026).↩
  10. L'électromagnétisme, fondé sur le groupe abélien U(1), n'est pas une théorie de Yang-Mills car elle est abélienne mais sa formulation fournit un modèle pour l'ensemble des théories de Yang-Mills, qui en sont ainsi une généralisation.↩
  11. Seules certaines théories dites libres, c'est-à-dire sans interaction et donc plus simples, ont vu leur existence démontrée dans le cadre de la théorie constructive des champs.↩
  12. Jaffe et Witten 2006, sec. 4, p. 142. ↩
Points à vérifier (79)

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  1. Qu’est-ce que les problèmes du prix du millénaire ? — Non vérifiéLes problèmes du prix du millénaire sont un ensemble de sept défis mathématiques réputés insurmontables, posés par l'Institut de mathématiques Clay en 2000.

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  2. Passage de cet article — Non vérifiéExplorer autrement

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  3. Passage de cet article — Non vérifiéPrésentation

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  4. Passage de cet article — Non vérifiéDescription générale

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  6. Présentation — Non vérifiéLa résolution de chacun des problèmes est dotée d'un prix d'un million de dollars américains offert par l'institut Clay. En 2026, six des sept problèmes demeurent non résolus.

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  7. Description générale — Non vérifiéChacun des défis consiste à :

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  8. Description générale — Non vérifiésoit démontrer, soit infirmer, une hypothèse ou une conjecture qui n'a été ni confirmée ni rejetée faute d'une démonstration mathématique suffisamment rigoureuse ;

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  9. Description générale — Non vérifiésoit définir et expliciter l'ensemble des solutions de certaines équations.

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  10. Description générale — Non vérifiéChacune de ces solutions permettra de consolider les bases théoriques dans certains domaines des mathématiques fondamentales et constituera un important tremplin qui servira à approfondir les connaissances associées.

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  11. Description générale — Non vérifiéSi la solution proposée par publication pour résoudre l'un de ces problèmes est largement acceptée par la communauté des mathématiciens au bout de deux ans, alors l’Institut de mathématiques Clay remettra un million de dollars américains à la personne ou au groupe qui l'aura formulée.

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  12. Description générale — Non vérifiéLe premier de ces problèmes fait partie des problèmes de Hilbert non résolus.

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  13. Description générale — Non vérifiéUne description détaillée (en anglais) de chacun des sept problèmes, et de ce qui constituerait une solution acceptable, figure sur le site du Clay Mathematics Institute.

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  14. Histoire — Non vérifiéÀ la fin du XIXe siècle, le mathématicien allemand David Hilbert dressa une liste de 23 problèmes (l'hypothèse de Riemann, par exemple) dont la résolution serait d'un grand intérêt pour faire progresser les mathématiques. Dans le même esprit, le Clay Mathematics Institute, à la fin du XXe siècle, a décidé d'attribuer un prix d'un million de dollars américains à qui trouverait une solution satisfaisante à l'un des 7 p…

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  15. Histoire — Non vérifiéLes problèmes ont été annoncés par John Tate et Michael Atiyah le 24 mai 2000 au Collège de France à Paris.

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  16. Histoire — Non vérifiéÀ ce jour, le seul des sept problèmes qui a été résolu est la conjecture de Poincaré, démontrée par Grigori Perelman (cf. infra).

    Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.

  17. Impact médiatique — Non vérifiéL'écho auprès des médias a été important, bien que les primes annoncées par le Clay Mathematics Institute ne représentent pas en réalité des montants si spectaculaires (l'ordre de grandeur des salaires des professeurs titulaires de chaires de mathématiques au sein des universités américaines importantes est au minimum de 130 000 dollars américains, donc la prime ne représente pas beaucoup plus de cinq et moins de dix…

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  18. Hypothèse de Riemann — Non vérifiéArticle détaillé : Hypothèse de Riemann.

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  19. Passage de cet article — Non vérifiéFonction zêta de Riemann.

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  20. Hypothèse de Riemann — Non vérifiéL'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann. Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Sa démonstration améliorerait entre autres la connaissance de la répartition des nombres premiers.

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  21. Conjecture de Poincaré (résolue) — Non vérifiéArticle détaillé : Conjecture de Poincaré.

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  22. Conjecture de Poincaré (résolue) — Non vérifiéLe mathématicien russe Grigori Perelman a démontré cette conjecture en 2002. Sa démonstration a été récompensée par l'attribution de la médaille Fields en 2006 qu'il a déclinée. En ce qui concerne le prix Clay, bien que ses articles n'aient pas été publiés dans des revues à comité de lecture, mais sur arXiv, un répertoire (partiellement) modéré destiné à l'archivage de prépublications principalement de physique et de…

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  23. Passage de cet article — Non vérifiéLe problème P = NP : est-ce que P = NP ou P ≠ NP ?

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  24. Problème ouvert P ≟ NP — Non vérifiéArticle détaillé : Problème P ≟ NP.

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  25. Problème ouvert P ≟ NP — Non vérifiéSavoir si P = NP est l'un des principaux problèmes ouverts de l'informatique théorique. Le mathématicien et vulgarisateur Keith Devlin le décrit comme le seul problème de la liste potentiellement accessible aux non-spécialistes, dans la mesure où sa description est accessible et une idée simple pourrait suffire à le résoudre.

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  26. Problème ouvert P ≟ NP — Non vérifiéPour schématiser, en informatique, certains problèmes peuvent être résolus rapidement (problèmes de complexité P), tandis que d'autres prennent beaucoup de temps (problèmes de complexité NP). Le problème P vs NP demande si tous les problèmes dont on peut vérifier rapidement une solution peuvent également être résolus rapidement.

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  27. Problème ouvert P ≟ NP — Non vérifiéLe consensus général parmi les chercheurs[réf. nécessaire] est qu'il est peu probable que P = NP, mais aucune preuve formelle n'a été trouvée pour étayer cette croyance.

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  28. Conjecture de Hodge — Non vérifiéLa conjecture de Hodge est l'une des plus grandes conjectures de géométrie algébrique. Elle établit un lien entre la topologie algébrique d'une variété algébrique complexe non singulière et sa géométrie décrite par des équations polynomiales qui définissent des sous-variétés. Elle provient d'un résultat du mathématicien britannique W. V. D. Hodge qui, entre 1930 et 1940, a enrichi la description de la cohomologie de …

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  29. Conjecture de Hodge — Non vérifiéCette conjecture peut s'énoncer ainsi : il est possible de calculer la cohomologie d'une variété algébrique projective complexe à partir de ses sous-variétés.

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  30. Avancées — Non vérifiéLa conjecture de Hodge reste un problème ouvert en mathématiques. Des progrès ont été réalisés pour des cas spécifiques et des variantes de la conjecture. Par exemple, dans le cas des surfaces de type K3, la conjecture de Hodge a été démontrée par l'utilisation de techniques de géométrie algébrique et de géométrie symplectique.

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  31. Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer — Non vérifiéLa conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que pour toute courbe elliptique sur le corps des rationnels, l'ordre d'annulation en 1 de la fonction L associée est égal au rang de la courbe. Elle prédit même la valeur du premier terme non nul dans le développement limité en 1 de cette fonction L.

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  32. Avancées — Non vérifiéOuverte depuis plus de quarante ans, la conjecture est non résolue, bien que des progrès significatifs aient été réalisés. Le travail de mathématiciens tels que Andrew Wiles et Richard Taylor a permis de résoudre des cas spécifiques et d'apporter des preuves partielles. Elle est largement reconnue comme un des problèmes mathématiques les plus difficiles et les plus profonds encore ouverts au début du XXIe siècle.

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  33. Équations de Navier-Stokes (résolues a priori) — Non vérifiéArticle détaillé : Solutions des équations de Navier-Stokes.

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  34. Équations de Navier-Stokes (résolues a priori) — Non vérifiéEn mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui sont censées décrire le mouvement des fluides « newtoniens » (liquide et gaz visqueux ordinaires) dans l’approximation des milieux continus. La résolution de ces équations modélisant un fluide comme un milieu continu à une seule phase incompressible, même quand elle est possible, est ardue, et dans le…

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  35. Équations de Navier-Stokes (résolues a priori) — Non vérifiéElles sont nommées d'après deux scientifiques du XIXe siècle, le mathématicien et ingénieur des ponts et chaussées Claude Navier et le physicien George Stokes, le choix oubliant le rôle intermédiaire du physicien Adhémar Barré de Saint-Venant. Pour un gaz peu dense, il est possible de déduire ces équations de celle de Boltzmann, décrivant un comportement moyen des particules dans le cadre de sa théorie cinétique des …

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  36. Équations de Navier-Stokes (résolues a priori) — Non vérifiéCes équations sont donc fondamentales pour expliquer le comportement des fluides. Le prix récompense la démonstration de l'existence d'une solution régulière des équations pour un fluide incompressible.

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  37. Équations de Navier-Stokes (résolues a priori) — Non vérifiéLe 8 septembre 2026, l'entreprise californienne OpenAI annonce avoir obtenu une preuve de l'existence d'une solution des équations de Navier-Stokes qui développe une singularité en un temps fini, constituant ainsi un contre-exemple à la régularité globale recherchée dans le problème du millénaire,,.

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  38. Avancées — Non vérifiéDes résultats partiels ont été obtenus pour certaines classes de solutions des équations de Navier-Stokes, notamment des solutions faibles et des solutions régulières en deux dimensions. Cependant, l'existence et la régularité des solutions générales en trois dimensions restent inconnues.

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  39. Équations de Yang-Mills — Non vérifiéArticle détaillé : Théorie de Yang-Mills.

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  40. Équations de Yang-Mills — Non vérifiéUne théorie de Yang-Mills est un type de théorie de jauge non abélienne, dont le premier exemple a été introduit dans les années 1950 par les physiciens Chen Ning Yang, et Robert Mills pour obtenir une description cohérente de l'interaction faible au sein des noyaux atomiques. Depuis, il a été réalisé que ce type de théorie, une fois incorporé dans le cadre de la théorie quantique des champs, permet une description d…

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  41. Équations de Yang-Mills — Non vérifiéSon expression mathématique moderne fait appel aux outils de la géométrie différentielle et des espaces fibrés. Bien que la formulation et le cadre géométrique de la théorie de Yang-Mills classique soient bien connus depuis longtemps, deux propriétés fondamentales n'ont toujours pas été démontrées mathématiquement et font donc l'objet du prix du millénaire :

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  42. Équations de Yang-Mills — Non vérifiéd'une part, l’existence d'une théorie quantique des champs cohérente, fondée sur une théorie de Yang-Mills ;

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  43. Équations de Yang-Mills — Non vérifiéd'autre part, l'existence d'un écart de masse (en) qui ne permet l'observation des gluons, particules élémentaires de la théorie quantique associés à toute théorie de Yang-Mills, que sous forme de combinaisons massives appelées boules de glu (glueball en anglais). Ce problème non résolu est intimement lié à celui du confinement de couleur qui affirme que seuls sont observables les états quantiques de charge de couleu…

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  44. Équations de Yang-Mills — Non vérifiéEn dehors de ces aspects associés à la physique quantique, la théorie de Yang-Mills classique est hautement non linéaire et les équations de Yang-Mills qui lui sont associées sont très difficiles à résoudre de façon exacte en dehors de cas particuliers. C'est cette non-linéarité, associée à une structure géométrique riche, qui donne aux théories de Yang-Mills toute leur complexité et en fait un sujet de recherche act…

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  45. Équations de Yang-Mills — Non vérifiéL'énoncé officiel du problème par Arthur Jaffe et Edward Witten est le suivant :

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  46. Passage de cet article — À revérifier« Yang–Mills existence and mass gap. Prove that for any compact simple gauge group {\displaystyle \mathrm {G} }, a non-trivial quantum Yang–Mills theory exists on {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} and has a mass gap {\displaystyle \Delta >0}. Existence includes establishing axiomatic properties at least as strong as those cited in Streater & Wightman (1964), Osterwalder & Schrader (1973) and Osterwalder & Schrader (19…

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  47. Équations de Yang-Mills — Non vérifié— Arthur Jaffe et Edward Witten, Quantum Yang–Mills theory.

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  48. Passage de cet article — À revérifier« Existence et écart de masse de Yang-Mills. Prouver que pour tout groupe de jauge {\displaystyle \mathrm {G} } compact simple, une théorie quantique de Yang-Mills, non-triviale, existe sur {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} et possède un écart de masse {\displaystyle \Delta >0}. L'existence comprend l'établissement de propriétés axiomatiques au moins aussi fortes que celles citées dans Streater et Wightman (1964), Ost…

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  49. Équations de Yang-Mills — Non vérifié— Théorie quantique de Yang-Mills.

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  50. Avancées — Non vérifiéBien que ce problème reste non résolu, des progrès ont été réalisés dans la compréhension des théories de jauge quantiques et de leurs propriétés. Les travaux de Edward Witten, Richard Feynman et d'autres ont permis d'explorer les aspects mathématiques et physiques des théories de Yang-Mills et de jeter les bases pour une compréhension plus approfondie de ces théories.

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Sources et méthode

Texte adapté à partir des sources indiquées. Les contenus Wikipédia et Wiktionnaire sont réutilisés sous CC BY-SA 4.0. Les droits des médias sont précisés séparément. Révision originale et contributeurs ↗

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