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Écart type

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En mathématiques, l’écart type (aussi orthographié écart-type) est une mesure de la dispersion des valeurs d'un échantillon statistique ou d'une distribution de probabilité. Il est défini comme la racine carrée de la variance ou, de manière équivalente, comme la moyenne quadratique des écarts par rapport à la moyenne. Il se note en général avec la lettre grecque σ (« sigma »), d’après l’appellation standard deviation en anglais. Il est homogène à la variable mesurée.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Écart type
Exemple de deux échantillons ayant la même moyenne (100) mais des écarts types différents illustrant l'écart type comme mesure de la dispersion autour de la moyenne. La population rouge a un écart type (SD = standard deviation ) de 10 et la population bleue a un écart type de 50.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×JRBrown · Public domainCrédits et droits dans les sources ↓

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À retenir

Questions essentielles

Que désigne « Écart type » ?

En mathématiques, l’écart type (aussi orthographié écart-type) est une mesure de la dispersion des valeurs d'un échantillon statistique ou d'une distribution de probabilité.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

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En mathématiques, l’écart type (aussi orthographié écart-type) est une mesure de la dispersion des valeurs d'un échantillon statistique ou d'une distribution de probabilité. Il est défini comme la racine carrée de la variance ou, de manière équivalente, comme…Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

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Histoire

L'écart type est une grandeur dont l'invention remonte au XIXe siècle, qui voit la statistique se développer au Royaume-Uni.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

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Définition

À partir d'un relevé exhaustif (x1, …, xn) d'une variable quantitative pour tous les individus d'une population, l'écart type est la racine carrée de la variance, c'est-à-dire :Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

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Expression comme distance

L'écart type est la distance euclidienne du point {\displaystyle M} de coordonnées {\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)} à la droite diagonale engendrée par le vecteur {\displaystyle \left(1,\ldots ,1\right)} dans {\displaystyle \mathbb {R} ^{nÀ revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

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Le texte et ses détails

Présentation

Exemple de deux échantillons ayant la même moyenne (100) mais des écarts types différents illustrant l'écart type comme mesure de la dispersion autour de la moyenne. La population rouge a un écart type (SD = standard deviation) de 10 et la population bleue a un écart type de 50.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×Illustration de la source non affichée : droits de reproduction à vérifier.Consulter les crédits et la source ↓

En mathématiques, l’écart type (aussi orthographié écart-type) est une mesure de la dispersion des valeurs d'un échantillon statistique ou d'une distribution de probabilité. Il est défini comme la racine carrée de la variance ou, de manière équivalente, comme la moyenne quadratique des écarts par rapport à la moyenne. Il se note en général avec la lettre grecque σ (« sigma »), d’après l’appellation standard deviation en anglais. Il est homogène à la variable mesurée.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Les écarts types sont rencontrés dans tous les domaines où sont appliquées les probabilités et la statistique, en particulier dans le domaine des sondages, en physique, en biologie ou dans la finance. Ils permettent en général de synthétiser les résultats numériques d'une expérience répétée. Tant en probabilités qu'en statistique, il sert à l'expression d'autres notions importantes comme le coefficient de corrélation, le coefficient de variation ou la répartition optimale de Neyman.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Quand l'écart type d'une population est inconnu, sa valeur est approchée à l'aide d'estimateurs.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Exemples :Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

  • Population de personnes de même taille : On considère une population de 4 personnes mesurant 2 m. La moyenne des tailles est de 2 m. Chaque valeur étant égale à la moyenne, l'écart type est de 0 m.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • Population de personnes de tailles différentes : On considère maintenant une population de 4 personnes mesurant 2 m, 1,80 m, 2,20 m et 2 m. Dans ce cas-ci, la moyenne est aussi de 2 m : {\displaystyle {\frac {2+1{,}8+2{,}2+2}{4}}=2~\mathrm {m} }. Cependant, les écarts par rapport à la moyenne sont maintenant de 0 m, 0,20 m, 0,20 m et 0 m, respectivement. Pour connaître l'écart type, on calcule la moyenne quadratique de ces écarts, c'est-à-dire {\displaystyle {\sqrt {\frac {0^{2}+0{,}2^{2}+0{,}2^{2}+0^{2}}{4}}}} , qui vaut environ 0,14 m.À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Histoire

L'écart type est une grandeur dont l'invention remonte au XIXe siècle, qui voit la statistique se développer au Royaume-Uni.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

C'est à Abraham de Moivre qu'est attribuée la découverte du concept de mesure de la dispersion qui apparaît dans son ouvrage The Doctrine of Chances en 1718[7]. Mais le terme d'écart type (« standard deviation ») a été employé pour la première fois par Karl Pearson en 1893 devant la Royal Society[8]. C'est aussi Karl Pearson qui utilise pour la première fois le symbole σ pour représenter l'écart type[8]. En 1908, William Gosset, plus connu sous le pseudonyme de Student, définit l'écart type empirique d'un échantillon et montre qu'il est important de le distinguer de l'écart type d'une population[8]. La variance est une notion qui apparut plus tard, en 1918, dans un texte de Ronald Fisher intitulé The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance[40].Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Sur population totale

Définition

À partir d'un relevé exhaustif (x1, …, xn) d'une variable quantitative pour tous les individus d'une population, l'écart type est la racine carrée de la variance, c'est-à-dire[9],[57],[58] :Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {V}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-{\overline {x}}^{2}}}}Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×

où {\displaystyle {\overline {x}}} représente la moyenne. L'écart type est homogène à la variable mesurée, c'est-à-dire que si par un changement d'unité, toutes les valeurs sont multipliées par un coefficient α > 0, l'écart type sera multiplié par le même coefficient. En revanche, l'écart type est invariant par décalage additif : si on ajoute une constante à toutes les valeurs relevées, cela ne change pas l'écart type. Ces deux propriétés font de l'écart type un indicateur de dispersion.À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Par contraste avec d'autres indicateurs de dispersion comme l'écart interquartile, l'écart type a l'avantage de pouvoir se calculer à partir des moyennes et écarts types sur une partition de la population, puisque la variance globale est la somme de la variance des moyennes et de la moyenne des variances. Cela permet de calculer l'écart type en parallèle.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

L'écart type est implémenté en Python dans la bibliothèque numpy avec la méthode std. En R, la fonction sd (pour standard deviation)[59] utilise {\displaystyle {\frac {1}{n-1}}} à la place de {\displaystyle {\frac {1}{n}}}, ce qui correspond à l'estimateur de l'écart-type d'une population à partir d'un échantillon.À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Expression comme distance

L'écart type est la distance euclidienne du point {\displaystyle M} de coordonnées {\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)} à la droite diagonale engendrée par le vecteur {\displaystyle \left(1,\ldots ,1\right)} dans {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, atteinte en son projeté orthogonal de coordonnées {\displaystyle \left({\overline {x}},\ldots ,{\overline {x}}\right)}.À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

L'écart type est donc le minimum de la fonction {\displaystyle t\mapsto {\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-t)^{2}}}} qui calcule la distance entre M et le point de coordonnées (t, …, t).À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Coefficient de variation

L'écart type peut être utilisé pour comparer l'homogénéité de plusieurs populations sur une même variable. Par exemple, si on donne deux classes d'un même niveau moyen et évaluées selon les mêmes critères, la classe avec un plus fort écart type des notes sera plus hétérogène. Dans le cas d'une notation de {\displaystyle 0} à {\displaystyle 20}, l'écart type minimal est {\displaystyle 0} (notes toutes identiques), et peut valoir jusqu'à {\displaystyle 10} si la moitié de la classe a {\displaystyle 0/20} et l'autre moitié {\displaystyle 20/20}[1].À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

En revanche, on ne peut comparer tels quels les écarts types de variables différentes, et dont les ordres de grandeur ne correspondent pas nécessairement. Pour une variable quantitative strictement positive, on définit alors le coefficient de variation, égal au quotient de l'écart type par la moyenne[10]. Ce nombre adimensionnel ne dépend pas de l'unité de mesure choisie et permet de comparer la dispersion de variables différentes.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Un coefficient de variation élevé peut éventuellement signaler l'existence d'une valeur aberrante. Un critère consiste à rejeter les valeurs qui diffèrent de la moyenne par plus de 3 fois l'écart type. Dans le cas d'une distribution gaussienne, la probabilité d'un tel dépassement[11] est de l'ordre de 3/1000.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Pour une variable aléatoire

Définition

La modélisation probabiliste d'une distribution statistique consiste à définir une variable aléatoire, c'est-à-dire une application X avec une mesure de probabilité {\displaystyle \mathbb {P} }, laquelle permet de définir les probabilités de la forme {\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)}. La donnée de ces probabilités constitue la loi de probabilité[12] de X. La modélisation est fidèle si la probabilité d'un évènement correspond à la fréquence d'occurrence des valeurs correspondantes dans la population testée, conformément à la loi des grands nombres.À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

On s'intéresse ici aux variables aléatoires réelles ou vectorielles de carré intégrable, c'est-à-dire dont l'espérance E(X2) converge. Pour une variable vectorielle (à valeurs dans un espace vectoriel normé complet), l'espérance est un vecteur du même espace et le carré désigne le carré de la norme. L'ensemble {\displaystyle \mathrm {L} ^{2}(\Omega )} de ces variables est lui-même un espace vectoriel.À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

L'écart type de X est la racine carrée de la variance[2],[41] {\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {\mathbb {E} \left[\left(X-\mathbb {E} [X]\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}}}}.À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

L'existence de l'écart type est assurée pour une variable aléatoire bornée ou admettant une fonction de densité dominée à l'infini par une fonction puissance {\displaystyle t\mapsto {\frac {1}{t^{\alpha }}}} avec α > 3.À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Exemples

Dans le cas d'une variable aléatoire discrète dont les valeurs sont notées xi, avec {\displaystyle p_{i}=\mathbb {P} (X=x_{i})}, l'écart type s'écrit comme pour une série statistique {\displaystyle \sigma :={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}}={\sqrt {\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{x_{i}}^{2}\right)-\mu ^{2}}}}, où μ est l'espérance de la loi de X.À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

En particulier, si X est uniforme[13] sur un ensemble fini {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}, c'est-à-dire si À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

{\displaystyle p_{i}={\frac {1}{n}}} pour tout i entre 1 et n,À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

alorsSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

{\displaystyle \sigma _{X}:={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}\right)-\mu ^{2}}}}.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×

Dans le cas d'une variable aléatoire à densité pour laquelle les probabilités s'écrivent {\displaystyle \mathbb {P} _{X}\left(]a,b[\right)=\mathbb {P} \left(X\in ]a,b[\right)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} où f est une fonction localement intégrable, pour la mesure de Lebesgue par exemple, mais pas nécessairement une fonction continue[14], l'écart type de X est défini par {\displaystyle \sigma _{X}:={\sqrt {\int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{2}f(x)\mathrm {d} x}}={\sqrt {\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\mathrm {d} x-\mu ^{2}}}}où {\displaystyle \mu =\int _{\mathbb {R} }xf(x)\mathrm {d} x} est l'espérance de X.À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Avec ces formules et la définition, le calcul des écarts types pour les lois couramment rencontrées est aisé. Le tableau suivant donne les écarts types de quelques-unes de ces lois :Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Nom de la loiParamètre(s)DescriptionÉcart typeSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
Loi de Bernoulli[13]p ∈ ]0 ; 1[Loi discrète sur {0 ; 1} avec une probabilité p d'obtenir 1{\displaystyle \sigma ={\sqrt {p(1-p)}}}Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
Loi binomiale[15]{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}} et p ∈ ]0 ; 1[Loi de la somme de n variables indépendantes suivant la loi de Bernoulli de même paramètre p{\displaystyle \sigma ={\sqrt {np(1-p)}}}Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
Loi géométrique[16]p ∈ ]0 ; 1[Loi du rang de la première réalisation dans une suite de variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre p{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {1-p}{p^{2}}}}}Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
Loi uniforme sur un segment[17]a < bLoi de densité constante sur[a , b]{\displaystyle \sigma ={\frac {b-a}{2{\sqrt {3}}}}}Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
Loi exponentielle[17]{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+*}}Loi à densité avec un taux de panne constant λ{\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\lambda }}}Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
Loi de Poisson[18]{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+*}}Loi sur du nombre de réalisations indépendantes sur {\displaystyle \mathbb {N} } de moyenne λ{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\lambda }}}Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×
Loi du χ²[19]nLoi de la somme de n carrés de variables normales centrées réduites indépendantes{\displaystyle \sigma ={\sqrt {2n}}}Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Si la variable X suit une loi log-normale alors ln X suit une loi normale et l'écart type de X est relié à l'écart type géométrique[20].Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Mais toutes les lois de probabilité n'admettent pas forcément un écart type fini : la loi de Cauchy (ou loi de Lorentz) n'a pas d'écart type, ni même d'espérance mathématique[21].Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Propriétés

PositivitéSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

L'écart type est toujours positif ou nul. Celui d'une constante est nul.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Invariance par translationSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

L'écart type ne change pas si on ajoute une constante b à la variable aléatoire X : σX+b=σX.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Homogénéité[3],[22]Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Pour toute constante positive c et toute variable aléatoire réelle X, on a σcX = c σX.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Somme algébrique de deux variablesSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

L'écart type de la somme de deux variables s'écrit[23] sous la forme Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

{\displaystyle \sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\sigma _{X}\sigma _{Y}\rho (X,Y)}}}Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×

où ρ(X,Y) est le coefficient de corrélation entre les deux variables X et Y.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Inégalité triangulaireSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

L'écart type de la somme est majoré par la somme des écarts types[4] : Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

{\displaystyle \sigma _{X+Y}\leq \sigma _{X}+\sigma _{Y}}.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×

De plus, il y a égalité si et seulement s'il existe une relation affine presque sûre entre les deux variables.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Distance euclidienneSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

L'écart type d'une variable aléatoire réelle X est la distance euclidienne de cette variable à la droite des constantes dans l'espace des variables admettant une variance[24]. C'est donc le minimum de la fonction {\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}:c\rightarrow {\sqrt {(|X-c|^{2})}}}, atteint sur la constante c = E(X).À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Usages

Intervalle de fluctuation

Représentation graphique de la fonction de densité d'une loi normale. Chaque bande colorée a la largeur d'un écart type.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×M. W. Toews · CC BY 2.5Crédits et droits dans les sources ↓

En sciences, il est fréquent de considérer que les mesures d'une grandeur se répartissent selon une distribution gaussienne, par accumulation d'erreurs de mesure ou d'interférences indépendantes avec d'autres phénomènes, en application du théorème central limite. L'histogramme des valeurs observées se rapproche alors d'une courbe en cloche caractéristique de la loi normale. La courbe étant complètement définie par la donnée de la valeur moyenne et de l'écart type, ces deux valeurs permettent de définir un intervalle de fluctuation qui concentre l'essentiel des observations.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Le calcul des quantiles de cette loi montre par exemple que pour une grandeur satisfaisant cette distribution sur une population d'individus, avec une moyenne m et un écart type σ, 95 % des valeurs observées appartiendront à l'intervalle [m – 1,96 σ ; m + 1,96 σ] (voir 97,5e centile). On peut ainsi associer des probabilités à des intervalles de valeurs centrés sur la moyenne et dont l'amplitude est un multiple de l'écart type[25].Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Intervalles de fluctuation pour une distribution gaussienne
Écart maximal à la moyenneProportion des valeursSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
{\displaystyle \pm \sigma }68,27 %Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
{\displaystyle \pm 1.96\cdot \sigma }95 %Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
{\displaystyle \pm 2\sigma }95,45 %Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
{\displaystyle \pm 3\sigma }99,73 %Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Dans l'industrie, l'écart type intervient dans le calcul de l'indice de qualité des produits manufacturés ou dans l'indice de fidélité d'un appareil de mesure[42],[43].Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

En physique des particules, la détection d'évènements est ainsi quantifiée en nombre de sigmas, représentant l'écart entre la valeur observée et la moyenne attendue en l'absence d'évènement. Un résultat est considéré comme significatif par l'obtention de 5 sigmas, représentant une probabilité d'erreur inférieure à 0,00006 % (soit niveau de confiance de plus de 99,99994 %)[44].Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

La moyenne mobile est en rouge et les bandes de Bollinger, calculées à l'aide de l'écart type, sont en bleu.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×Commontrader · CC BY 3.0Crédits et droits dans les sources ↓

Dans le domaine de la communication financière, l'écart type est une mesure de la volatilité des cours des actions des sociétés cotées[26]. Les bandes de Bollinger sont des outils facilitant l'analyse des prévisions boursières. John Bollinger a construit la courbe des moyennes mobiles sur 20 jours et les courbes, de part et d'autre de cette courbe, situées à deux fois l'écart type sur ces 20 jours. John Bollinger a utilisé une définition adaptée de l'écart type[45]. En outre, le risque d'un actif boursier et le risque associé au marché sont mesurés par l'écart type de la rentabilité attendue, dans le modèle d'évaluation des actifs financiers de Harry Markowitz[46].Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Variable centrée réduite

Exemples de distributions asymétriques.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×Illustration de la source non affichée : droits de reproduction à vérifier.Consulter les crédits et la source ↓
Exemples de distributions plus ou moins aplaties.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×Illustration de la source non affichée : droits de reproduction à vérifier.Consulter les crédits et la source ↓

Si X est une variable aléatoire d'écart type non nul, on peut lui faire correspondre la variable centrée et réduite Z définie par {\displaystyle Z={\frac {X-{\bar {X}}}{\sigma }}}. Deux variables aléatoires centrées et réduites Z1 et Z2 sont aisées à comparer, puisque E(Zi)=0 et σZi=1[27].À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Le théorème central limite a pour objet la limite d'une suite de variables aléatoires centrées réduites[28], les coefficients de dissymétrie et d'aplatissement d'une densité de probabilité, E(Z3) et E(Z4), permettent de comparer des distributions différentes[29].Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Coefficient de corrélation linéaire

Article détaillé : Corrélation (statistiques).Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Si X et Y sont deux variables aléatoires réelles admettant toutes les deux une variance non nulle, le coefficient de corrélation linéaire est le rapport {\displaystyle \operatorname {Cor} (X,Y)={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}} où {\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])\,(Y-\mathbb {E} [Y])]=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]} est la covariance des variables X et Y. D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, {\displaystyle |\operatorname {cov} (X,Y)|\leq \sigma _{X}\sigma _{Y}} ; le coefficient de corrélation prend ses valeurs dans l'intervalle [–1 ; +1][30].À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Si les deux variables sont indépendantes, le coefficient de corrélation linéaire est nul, mais la réciproque est fausse.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Si le coefficient de corrélation linéaire vaut 1 ou −1, les deux variables sont presque sûrement en relation affine[31].Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Article détaillé : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

C'est grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev que l'écart type apparaît comme une mesure de la dispersion autour de la moyenne. En effet, cette inégalité exprime que {\displaystyle P(|X-E(X)|>k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}}[32] et montre que la probabilité pour que X s'écarte de E(X) de plus de k fois l'écart type est inférieure à 1/k2[33].À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Principe d'incertitude

En mécanique quantique, le principe d'incertitude d'Heisenberg exprime que le produit des écarts types de la position x et de l'impulsion p d'une particule est supérieur ou égal à la constante de Planck réduite divisée par deux, soit {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}} [47].À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Estimation

Lorsqu'il n'est pas possible de connaître toutes les valeurs de la caractéristique considérée, on se trouve dans le cadre de la théorie statistique. Le statisticien procède alors par échantillonnage et estimation pour évaluer les grandeurs analysées telles que l'écart type.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

L'écart type sert à indiquer, à l'aide de barres d'erreur, l'incertitude sur la largeur moyenne des sépales.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×Illustration de la source non affichée : droits de reproduction à vérifier.Consulter les crédits et la source ↓

Un estimateur est une fonction permettant d'approcher un paramètre d'une population à l'aide d'un échantillon tiré au hasard[34], ou une grandeur sur un phénomène aléatoire à partir de plusieurs réalisations de celui-ci.Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Dans le cas d'un échantillon de taille n, et dont la vraie moyenne -ou espérance- μ est connue, l'estimateur est le suivant : {\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}}.}Malheureusement, le plus souvent on ne connaît pas μ et on doit l'estimer à partir de l'échantillon lui-même grâce à l'estimateur suivant : {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}. Différents estimateurs de l'écart type sont généralement utilisés. La plupart de ces estimateurs s'expriment par la formule : {\displaystyle S_{k}={\sqrt {{\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}.} Sn – 1 (ou S′) est l'estimateur le plus utilisé[35],[9], mais certains auteurs recommandent d'utiliser Sn (ou S)[48].À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Propriétés des estimateurs

Article détaillé : Qualités d'un estimateur.Non vérifié Ce passage ne dispose pas encore de vérification factuelle exploitable.×

Deux propriétés importantes des estimateurs sont la convergence et l'absence de biais[9].Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Pour tout k tel que k/n tende vers 1, la loi des grands nombres garantit que S2
n puis S2
k sont des estimateurs convergents de σ2. Grâce au théorème de continuité, stipulant que si f est continue, alors {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f(X_{n})=f(\lim \limits _{n\to \infty }X_{n})}. La fonction racine carrée étant continue, Sk converge lui aussi vers σ. En particulier Sn et Sn – 1 sont des estimateurs convergents de σ, ce qui reflète l'approximation de σ par ces deux séries lorsque n devient de plus en plus grand[5],[36] et conforte le statisticien à utiliser ces estimateurs.À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

L'estimateur de la variance S2
n – 1 est sans biais. Cependant, la non-linéarité de la fonction racine carrée fait que Sn – 1 est légèrement biaisé[48]. Les estimateurs S2
n et Sn sont eux aussi biaisés. Le fait de faire intervenir non pas n mais n – 1 au dénominateur (correction de Bessel) dans le calcul de la variance vient du fait que déterminer la moyenne de x à partir de l'échantillon fait perdre un degré de liberté puisque la formule {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} relie {\displaystyle {\bar {x}}} aux valeurs xi. On a donc seulement n – 1 valeurs indépendantes après le calcul de {\displaystyle {\bar {x}}}. Dans le cas ou l'on cherche à estimer l’écart-type d'une loi normale, on dispose d'un estimateur non biaisé de σ proche de {\displaystyle S_{n-3/2}} [49]. Le choix de {\displaystyle n-3/2} permet de corriger le biais supplémentaire lié à la racine carrée.À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

La précision, donnée par l'erreur quadratique moyenne, est difficile à calculer explicitement pour des lois quelconques. Il semblerait cependant qu'en dépit d'un biais plus important, Sn soit plus précis que Sn –1[48].Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Écart type des moyennes

Pour estimer la précision de l'estimation de la moyenne d'une variable, la méthode du calcul de l'écart type de la distribution d'échantillonnage des moyennes est utilisée. Appelé aussi erreur type de la moyenne (« Standard error »), noté {\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}, c'est l'écart type des moyennes des échantillons de tailles identiques d'une population. Si n est la taille des échantillons prélevés sur une population d'écart type σ, et si N est la taille de la population, alors {\displaystyle \sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}}[37]. Lorsque l'écart type σ de la population est inconnu, il peut être remplacé par l'estimateur Sn–1[37]. Quand n est suffisamment grand (n ≥ 30), la distribution d'échantillonnage suit approximativement une loi de Laplace-Gauss, ce qui permet de déduire un intervalle de confiance, fonction de {\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}, permettant de situer la moyenne de la population par rapport à la moyenne de l'échantillon[38],[39].À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Écart type des écarts types empiriques

En général, il est très difficile de calculer la loi de distribution des écarts types empiriques. Mais si Xn est une suite de variables aléatoires distribuées selon la loi normale {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}, alors {\displaystyle n{\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}} suit une loi du χ2 à n degrés de liberté[19],[6]. Cette loi a pour écart type √2n et donc l'écart type de la distribution des variances de variables normales a pour expression {\displaystyle \sigma _{S_{n}^{2}}=\sigma ^{2}{\sqrt {\frac {2}{n}}}}[19].À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Sondages d'opinion

Dans les sondages d'opinion, l'écart type {\displaystyle \sigma _{\bar {x}}} évalue l'incertitude des variations accidentelles de x inhérentes au sondage, ce qu'on appelle la marge d'erreur due aux variations accidentelles[50].À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

De plus, avec la méthode d'échantillonnage représentatif, lorsque les différentes strates ont des écarts types très différents, l'écart type est utilisé pour calculer la répartition optimale de Neyman qui permet d'évaluer la population dans les différentes strates en fonction de leur l'écart type ; en d'autres termes {\displaystyle n_{i}=n{\frac {N_{i}\sigma _{i}}{\sum N_{j}\sigma _{j}}}} est la taille de l'échantillon dans la strate i, où n est la taille totale de l'échantillon, Ni est la taille de la strate i, σi l'écart type de la strate i[50].À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

En algorithmique

Les écarts types obtenus par un programme d'ordinateur peuvent être incorrects si on n'utilise pas un algorithme adapté aux données, comme lorsqu'on utilise celui qui exploite directement la formule {\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}\right)-\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\right)^{2}}}} sur des grands échantillons de valeurs comprises entre 0 et 1[51],[52].À revérifier Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.×

Un des meilleurs algorithmes est celui de B.P. Welford qui est décrit par Donald Knuth dans son livre The Art of Computer Programming, vol. 2[53],[54].Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Une approximation de l'écart type de la direction du vent est donnée par l'algorithme de Yamartino dont on se sert dans les anémomètres modernes[55],[56].Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

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  1. Passage de cet article — Non vérifiéHistoire

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  2. Passage de cet article — Non vérifiéExemple de deux échantillons ayant la même moyenne (100) mais des écarts types différents illustrant l'écart type comme mesure de la dispersion autour de la moyenne. La population rouge a un écart type (SD = standard deviation) de 10 et la population bleue a un écart type de 50.

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  3. Passage de cet article — À revérifierPopulation de personnes de tailles différentes : On considère maintenant une population de 4 personnes mesurant 2 m, 1,80 m, 2,20 m et 2 m. Dans ce cas-ci, la moyenne est aussi de 2 m : {\displaystyle {\frac {2+1{,}8+2{,}2+2}{4}}=2~\mathrm {m} }. Cependant, les écarts par rapport à la moyenne sont maintenant de 0 m, 0,20 m, 0,20 m et 0 m, respectivement. Pour connaître l'écart type, on calcule la moyenne quadratique …

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  4. Passage de cet article — Non vérifié{\displaystyle \sigma ={\sqrt {V}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-{\overline {x}}^{2}}}}

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  5. Passage de cet article — À revérifieroù {\displaystyle {\overline {x}}} représente la moyenne. L'écart type est homogène à la variable mesurée, c'est-à-dire que si par un changement d'unité, toutes les valeurs sont multipliées par un coefficient α > 0, l'écart type sera multiplié par le même coefficient. En revanche, l'écart type est invariant par décalage additif : si on ajoute une constante à toutes les valeurs relevées, cela ne change pas l'écart typ…

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  6. Passage de cet article — À revérifierL'écart type est implémenté en Python dans la bibliothèque numpy avec la méthode std. En R, la fonction sd (pour standard deviation) utilise {\displaystyle {\frac {1}{n-1}}} à la place de {\displaystyle {\frac {1}{n}}}, ce qui correspond à l'estimateur de l'écart-type d'une population à partir d'un échantillon.

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  7. Passage de cet article — À revérifierL'écart type est la distance euclidienne du point {\displaystyle M} de coordonnées {\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)} à la droite diagonale engendrée par le vecteur {\displaystyle \left(1,\ldots ,1\right)} dans {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, atteinte en son projeté orthogonal de coordonnées {\displaystyle \left({\overline {x}},\ldots ,{\overline {x}}\right)}.

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  8. Passage de cet article — À revérifierL'écart type est donc le minimum de la fonction {\displaystyle t\mapsto {\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-t)^{2}}}} qui calcule la distance entre M et le point de coordonnées (t, …, t).

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  9. Passage de cet article — À revérifierL'écart type peut être utilisé pour comparer l'homogénéité de plusieurs populations sur une même variable. Par exemple, si on donne deux classes d'un même niveau moyen et évaluées selon les mêmes critères, la classe avec un plus fort écart type des notes sera plus hétérogène. Dans le cas d'une notation de {\displaystyle 0} à {\displaystyle 20}, l'écart type minimal est {\displaystyle 0} (notes toutes identiques), et …

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  10. Passage de cet article — À revérifierLa modélisation probabiliste d'une distribution statistique consiste à définir une variable aléatoire, c'est-à-dire une application X avec une mesure de probabilité {\displaystyle \mathbb {P} }, laquelle permet de définir les probabilités de la forme {\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)}. La donnée de ces probabilités constitue la loi de probabilité de X. La modélisation est fidèle si la probabilité d'un évènement cor…

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  11. Passage de cet article — À revérifierOn s'intéresse ici aux variables aléatoires réelles ou vectorielles de carré intégrable, c'est-à-dire dont l'espérance E(X2) converge. Pour une variable vectorielle (à valeurs dans un espace vectoriel normé complet), l'espérance est un vecteur du même espace et le carré désigne le carré de la norme. L'ensemble {\displaystyle \mathrm {L} ^{2}(\Omega )} de ces variables est lui-même un espace vectoriel.

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  12. Passage de cet article — À revérifierL'écart type de X est la racine carrée de la variance, {\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {\mathbb {E} \left[\left(X-\mathbb {E} [X]\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}}}}.

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  13. Passage de cet article — À revérifierL'existence de l'écart type est assurée pour une variable aléatoire bornée ou admettant une fonction de densité dominée à l'infini par une fonction puissance {\displaystyle t\mapsto {\frac {1}{t^{\alpha }}}} avec α > 3.

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  14. Passage de cet article — À revérifierDans le cas d'une variable aléatoire discrète dont les valeurs sont notées xi, avec {\displaystyle p_{i}=\mathbb {P} (X=x_{i})}, l'écart type s'écrit comme pour une série statistique {\displaystyle \sigma :={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}}={\sqrt {\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{x_{i}}^{2}\right)-\mu ^{2}}}}, où μ est l'espérance de la loi de X.

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  15. Passage de cet article — À revérifierEn particulier, si X est uniforme sur un ensemble fini {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}, c'est-à-dire si

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  16. Passage de cet article — À revérifier{\displaystyle p_{i}={\frac {1}{n}}} pour tout i entre 1 et n,

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  17. Passage de cet article — Non vérifié{\displaystyle \sigma _{X}:={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}\right)-\mu ^{2}}}}.

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  18. Passage de cet article — À revérifierDans le cas d'une variable aléatoire à densité pour laquelle les probabilités s'écrivent {\displaystyle \mathbb {P} _{X}\left(]a,b[\right)=\mathbb {P} \left(X\in ]a,b[\right)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} où f est une fonction localement intégrable, pour la mesure de Lebesgue par exemple, mais pas nécessairement une fonction continue, l'écart type de X est défini par {\displaystyle \sigma _{X}:={\sqrt {\int _{\ma…

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  19. Exemples — Non vérifiéLoi binomiale | et p ∈ ]0 ; 1[ | Loi de la somme de n variables indépendantes suivant la loi de Bernoulli de même paramètre p |

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  20. Exemples — Non vérifiéLoi exponentielle | | Loi à densité avec un taux de panne constant λ |

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  21. Exemples — Non vérifiéLoi de Poisson | | Loi sur du nombre de réalisations indépendantes sur de moyenne λ |

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  22. Passage de cet article — Non vérifié{\displaystyle \sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\sigma _{X}\sigma _{Y}\rho (X,Y)}}}

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  23. Passage de cet article — Non vérifié{\displaystyle \sigma _{X+Y}\leq \sigma _{X}+\sigma _{Y}}.

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  24. Passage de cet article — À revérifierL'écart type d'une variable aléatoire réelle X est la distance euclidienne de cette variable à la droite des constantes dans l'espace des variables admettant une variance. C'est donc le minimum de la fonction {\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}:c\rightarrow {\sqrt {(|X-c|^{2})}}}, atteint sur la constante c = E(X).

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  25. Passage de cet article — Non vérifiéReprésentation graphique de la fonction de densité d'une loi normale. Chaque bande colorée a la largeur d'un écart type.

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  26. Passage de cet article — Non vérifiéLa moyenne mobile est en rouge et les bandes de Bollinger, calculées à l'aide de l'écart type, sont en bleu.

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  27. Passage de cet article — Non vérifiéExemples de distributions asymétriques.

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  28. Passage de cet article — Non vérifiéExemples de distributions plus ou moins aplaties.

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  29. Passage de cet article — À revérifierSi X est une variable aléatoire d'écart type non nul, on peut lui faire correspondre la variable centrée et réduite Z définie par {\displaystyle Z={\frac {X-{\bar {X}}}{\sigma }}}. Deux variables aléatoires centrées et réduites Z1 et Z2 sont aisées à comparer, puisque E(Zi)=0 et σZi=1.

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  30. Coefficient de corrélation linéaire — Non vérifiéArticle détaillé : Corrélation (statistiques).

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  31. Passage de cet article — À revérifierSi X et Y sont deux variables aléatoires réelles admettant toutes les deux une variance non nulle, le coefficient de corrélation linéaire est le rapport {\displaystyle \operatorname {Cor} (X,Y)={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}} où {\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])\,(Y-\mathbb {E} [Y])]=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]} est la covariance…

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  32. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev — Non vérifiéArticle détaillé : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

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  33. Passage de cet article — À revérifierC'est grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev que l'écart type apparaît comme une mesure de la dispersion autour de la moyenne. En effet, cette inégalité exprime que {\displaystyle P(|X-E(X)|>k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}} et montre que la probabilité pour que X s'écarte de E(X) de plus de k fois l'écart type est inférieure à 1/k2.

    Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.

  34. Passage de cet article — À revérifierEn mécanique quantique, le principe d'incertitude d'Heisenberg exprime que le produit des écarts types de la position x et de l'impulsion p d'une particule est supérieur ou égal à la constante de Planck réduite divisée par deux, soit {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}} .

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  35. Passage de cet article — Non vérifiéL'écart type sert à indiquer, à l'aide de barres d'erreur, l'incertitude sur la largeur moyenne des sépales.

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  36. Passage de cet article — À revérifierDans le cas d'un échantillon de taille n, et dont la vraie moyenne -ou espérance- μ est connue, l'estimateur est le suivant : {\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}}.}Malheureusement, le plus souvent on ne connaît pas μ et on doit l'estimer à partir de l'échantillon lui-même grâce à l'estimateur suivant : {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}. Différe…

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  37. Propriétés des estimateurs — Non vérifiéArticle détaillé : Qualités d'un estimateur.

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  38. Passage de cet article — À revérifierPour tout k tel que k/n tende vers 1, la loi des grands nombres garantit que S2 n puis S2 k sont des estimateurs convergents de σ2. Grâce au théorème de continuité, stipulant que si f est continue, alors {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f(X_{n})=f(\lim \limits _{n\to \infty }X_{n})}. La fonction racine carrée étant continue, Sk converge lui aussi vers σ. En particulier Sn et Sn – 1 sont des estimateurs conv…

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  39. Passage de cet article — À revérifierL'estimateur de la variance S2 n – 1 est sans biais. Cependant, la non-linéarité de la fonction racine carrée fait que Sn – 1 est légèrement biaisé. Les estimateurs S2 n et Sn sont eux aussi biaisés. Le fait de faire intervenir non pas n mais n – 1 au dénominateur (correction de Bessel) dans le calcul de la variance vient du fait que déterminer la moyenne de x à partir de l'échantillon fait perdre un degré de liberté…

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  40. Passage de cet article — À revérifierPour estimer la précision de l'estimation de la moyenne d'une variable, la méthode du calcul de l'écart type de la distribution d'échantillonnage des moyennes est utilisée. Appelé aussi erreur type de la moyenne (« Standard error »), noté {\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}, c'est l'écart type des moyennes des échantillons de tailles identiques d'une population. Si n est la taille des échantillons prélevés sur une pop…

    Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.

  41. Passage de cet article — À revérifierEn général, il est très difficile de calculer la loi de distribution des écarts types empiriques. Mais si Xn est une suite de variables aléatoires distribuées selon la loi normale {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}, alors {\displaystyle n{\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}} suit une loi du χ2 à n degrés de liberté,. Cette loi a pour écart type √2n et donc l'écart type de la distribution des variances de va…

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  42. Passage de cet article — À revérifierDans les sondages d'opinion, l'écart type {\displaystyle \sigma _{\bar {x}}} évalue l'incertitude des variations accidentelles de x inhérentes au sondage, ce qu'on appelle la marge d'erreur due aux variations accidentelles.

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  43. Passage de cet article — À revérifierDe plus, avec la méthode d'échantillonnage représentatif, lorsque les différentes strates ont des écarts types très différents, l'écart type est utilisé pour calculer la répartition optimale de Neyman qui permet d'évaluer la population dans les différentes strates en fonction de leur l'écart type ; en d'autres termes {\displaystyle n_{i}=n{\frac {N_{i}\sigma _{i}}{\sum N_{j}\sigma _{j}}}} est la taille de l'échantill…

    Le contrôle conservé ne couvre pas précisément le texte et le contexte actuellement affichés.

  44. Passage de cet article — À revérifierLes écarts types obtenus par un programme d'ordinateur peuvent être incorrects si on n'utilise pas un algorithme adapté aux données, comme lorsqu'on utilise celui qui exploite directement la formule {\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}\right)-\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\right)^{2}}}} sur des grands échantillons de valeurs comprises entre 0 et 1,.

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  45. Passage de cet article — Non vérifiéDen Store Danske Encyklopædi

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  46. Passage de cet article — Non vérifiéEnciclopedia De Agostini

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  47. Passage de cet article — Non vérifiéGran Enciclopèdia Catalana

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  48. Passage de cet article — Non vérifiéStore norske leksikon

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Bibliographie

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  • Gilbert Saporta, Probabilités, Analyse des données et Statistiques, Paris, Éditions Technip, 2006, 622 p. [détail des éditions] (ISBN 978-2-7108-0814-5, présentation en ligne), seconde édition Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • Alain Monfort, Cours de Statistique Mathématique, Paris, éditions Economica, 1997, 333 p. (ISBN 2-7178-3217-3). Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • (en) Encyclopaedia Britannica Ultimate Reference Suite, Chicago, Encyclopædia Britannica, 2010. Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • Olivier Rioul, Théorie des probabilités, Paris, éditions Hermes sciences, 2008, 364 p. (ISBN 978-2-7462-1720-1). Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • (en) Yadolah Dodge, The Concise Encyclopaedia of Statistics, New York, Springer, 2010, 622 p. (ISBN 978-0-387-31742-7, lire en ligne). Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • Stéphane Tufféry, Data Mining et statistique décisionnelle : l'intelligence des données, Paris, éditions Technip, 2010, 705 p. (ISBN 978-2-7108-0946-3, lire en ligne). Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • (en) Peter L. Bernstein, Against the Gods : The Remarkable Story of Risk, New York, John Wiley & sons, inc, 1996, 383 p. (ISBN 978-0-471-12104-6). Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • Albert Jacquard, Les Probabilités, Paris, Presses Universitaires de France, coll. « Que sais-je » (no 1571), 1976, 125 p. (ISBN 2-13-036532-9). Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • C. Gautier, G. Girard, D. Gerll, C. Thiercé et A. Warusfel, Aleph1 Analyse, Paris, éditions Hachette, 1975, 465 p. (ISBN 2-01-001370-0). Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • André Vessereau, La Statistique, Paris, Presses Universitaires de France, coll. « Que sais-je » (no 281), 1976, 128 p. (ISBN 2-13-052942-9). Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • (en) Richard Herrnstein et Charles Murray, The Bell Curve : Intelligence and Class Structure in American Life, New York, Simon & Schuster Ltd, 1994, 896 p. (ISBN 978-0-684-82429-1), Appendix 1, "Statistics for People Who Are Sure They Can't Learn Statistics"Sourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

Articles connexes

  • Calcul d'erreurSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • Indicateur de dispersionSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • Erreur typeSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • Écart type géométriqueSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • Moment d'ordre nSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • Coefficient de variationSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • VarianceSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • Écart moyenSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×
  • Algorithme de calcul de la varianceSourcé Ce passage est explicitement présent dans la source Wikipédia localisée. Une corroboration indépendante est distinguée séparément.Source : Wikipédia · 233241578Passage comparé le 2026-10-07×

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Notes et références

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Références 1 à 25
  1. Si n élèves ont 0/20 et n élèves ont 20/20, c'est-à-dire l'échantillon contient n fois la valeur 20 et n fois la valeur 0, la moyenne est {\displaystyle {\tfrac {n\times 20}{n+n}}} ; soit X = 10 et X 2 = 100.
    Les valeurs au carré, notées X2, sont n fois 400 et n fois 0. La moyenne de X2 vaut donc {\displaystyle {\overline {X^{2}}}=200}. On en déduit que la variance vaut 100 et l'écart type 10.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  2. La deuxième égalité est donnée par le théorème de König-Huygens.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  3. Toutes ces propriétés sont la conséquence directe du théorème de Huygens et des propriétés de l'espérance mathématique.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  4. L'inégalité découle de l'égalité précédente et de l'encadrement du coefficient de corrélation : {\displaystyle -1\leq \rho (X,Y)\leq 1}.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  5. D'après le théorème de continuité on a : Théorème — Si g est continue, alors : {\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {\mathbb {P} }}X\Longrightarrow g(X_{n}){\xrightarrow {\mathbb {P} }}g(X)} . Comme la fonction racine carrée est une fonction continue, Sn-1 et Sn sont des estimateurs convergents de l'écart type, autrement dit : {\displaystyle S_{n-1}{\xrightarrow {\mathbb {P} }}\sigma {\text{ et }}S_{n}{\xrightarrow {\mathbb {P} }}\sigma }.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  6. par définition de la loi du χ2.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  7. Bernstein 1996, p. 127.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  8. Dodge 2010, p. 506.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩1 ↩2 ↩3
  9. Saporta 2006, p. 279-280.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩1 ↩2 ↩3
  10. Saporta 2006, p. 121.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  11. (en) David R. Anderson, Dennis J. Sweeney et Thomas A. Williams, « statistics », Encyclopaedia Britannica Ultimate Reference Suite,‎ 2010, statistics.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  12. Saporta 2006, p. 16.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  13. Saporta 2006, p. 30.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩1 ↩2
  14. Rioul 2008, p. 45.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  15. Saporta 2006, p. 31.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  16. Saporta 2006, p. 38.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  17. Saporta 2006, p. 39.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩1 ↩2
  18. Saporta 2006, p. 33.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  19. Dodge 2010, p. 71.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩1 ↩2 ↩3
  20. (en) Warren H. Finlay, The Mechanics of Inhaled Pharmaceutical Aerosols : An Introduction, San Diego, Academic Press Inc, 2001, 320 p. (ISBN 978-0-12-256971-5, lire en ligne), p. 5.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  21. Dodge 2010, p. 60.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  22. Saporta 2006, p. 23-25.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  23. Saporta 2006, p. 26.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  24. Rioul 2008, p. 146.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  25. Saporta 2006, p. 43-44.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
Références 26 à 50
  1. Jean-Pierre Petit, La Bourse : Rupture et Renouveau, Paris, Odile Jacob économie, 2003, 285 p. (ISBN 978-2-7381-1338-2, lire en ligne), p. 36.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  2. Gautier et al. 1975, p. 387.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  3. Saporta 2006, p. 66.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  4. Rioul 2008, p. 157.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  5. Rioul 2008, p. 175.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  6. Rioul 2008, p. 178.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
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  8. Jacquard 1976, p. 28-29.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  9. Saporta 2006, p. 289.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  10. Tufféry 2010, p. 655.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  11. Rioul 2008, p. 253.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  12. Dodge 2010, p. 508-509.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩1 ↩2
  13. Dodge 2010, p. 472.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  14. Vessereau 1976, p. 56.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  15. (en) Ronald Aylmar Fisher, « The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance », Philosophical Transactions of the Royal Society of Edinburgh, vol. 52,‎ 1918, p. 399–433 (lire en ligne [PDF]).Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  16. Sylvie Méléard, « Aléatoire : Introduction à la théorie et au calcul des probabilités » [PDF] (consulté le 7 mai 2012), p. 57,94.Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
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  21. P Fery, « Risque et calcul socioéconomique », Centre d'analyse stratégique,‎ 2010 (lire en ligne [PDF], consulté le 8 avril 2012).Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  22. Yves Meyer, « Principe d'incertitude, bases hilbertiennes et algèbres d'opérateurs. », Séminaire Bourbaki, vol. 662,‎ février 1986 (lire en ligne [PDF], consulté le 4 avril 2012).Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  23. Emmanuel Grenier, « Quelle est la « bonne » formule de l’écart-type ? », Revue Modulad, no 37,‎ décembre 2007 (lire en ligne [PDF], consulté le 18 février 2012).Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩1 ↩2 ↩3
  24. Richard M. Brugger, « A Note on Unbiased Estimation of the Standard Deviation », The American Statistician, vol. 23, no 4,‎ 1er octobre 1969, p. 32–32 (ISSN 0003-1305, DOI 10.1080/00031305.1969.10481865, lire en ligne, consulté le 29 mars 2019).Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  25. W.E. Deming, « Quelques méthodes de sondage. », Revue de statistique appliquée, vol. 12, no 4,‎ 1964 (lire en ligne [PDF], consulté le 9 avril 2012).Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩1 ↩2
Références 51 à 59
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  2. (en) John D. Cook, « Comparing three methods of computing standard deviation » (consulté le 20 avril 2012).Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  3. (en) B.P. Welford, « Note on a Method for Calculating Corrected Sums of Squares and Products », Technometrics, vol. 4, no 3,‎ août 1962, p. 419-420 (lire en ligne [PDF], consulté le 4 avril 2012).Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  4. (en) John D. Cook, « Accurately computing running variance » (consulté le 20 avril 2012).Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  5. (en) R.J. Yamartino, « A comparison of several "single-pass" estimators of the standard deviation of wind direction », Journal of climate and applied meteorology, vol. 23,‎ janvier 1984, p. 1362-1366 (lire en ligne [PDF], consulté le 27 avril 2012).Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  6. (en) Mike Bagot, « Victorian Urban Wind Resource Assessment » [PDF] (consulté le 24 avril 2012).Non vérifié Ce contenu affiché ne dispose pas encore d’un contrôle factuel correspondant.×↩
  7. « Basics of Descriptive Statistics », sur www.che.utah.edu (consulté le 18 avril 2019).↩
  8. Voir théorème de König-Huygens pour l'établissement de la seconde formule.↩
  9. (en) « sd: Standard Deviation », sur RDocumentation.↩

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Sources et méthode

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